2.13 连续随机变量的期望

2.5节讨论了离散随机变量的期望.本节考虑连续的情况.

定义2.11 若X是连续的，其密度函数为f（x），则其期望（expectation）定义为

积分需要收敛.

期望是以连续函数f（x）为权重的x的加权平均.与离散情况类似，期望等于分布的重心.为说明这一点，取任意的密度函数，想象将其放置到有一个支点的木板上.当支点放在期望值处时，木板将会平衡.

例17 f（x）=1, 0≤x≤1.

例18 f（x）=exp（-x）, x≥0.验证E[X]=1.分两步，首先

利用分部积分，令u=x，v=exp（-x）.计算

故E[X]=1.

例19 时薪分布（图2-5）.期望为23.92美元.检查图2-7中的密度图.期望大约在灰色阴影区域的中间位置.该位置是重心，它平衡了左边高的众数和右边的厚尾.

类似地，可定义变换的期望.

定义2.12 如果X的密度函数为f（x），则g（X）的期望为

例20 X～f（x）=1, 0≤x≤1.则.

例21 时薪对数分布（图2-8）.期望值为E[log（wage）]=2.95.检查图2-8中的密度图.由于曲线是近似对称的，期望值近似为密度的中点.

与离散随机变量类似，期望具有线性性质.

定理2.5 期望的线性性质对任意的常数a和b，都有

E[a+bX]=a+bE[X]

证明 设X是连续随机变量.由且，得

■

例22 f（x）=exp（-x）, x≥0.利用变换Y=λX.由期望的线性性质和E[X]=1，得

E[Y]=E[λX]=λE[X]=λ

或者利用变量变换求解，2.11节已给出Y的密度为exp（-y/λ）的情况.直接计算可得

两种方法均说明Y的期望为λ.