2.11 连续随机变量的变换

如果X是服从连续分布F的随机变量，那么对任意函数g（x），Y=g（X）仍是随机变量.Y的分布是什么？

首先考虑支撑.如果X的支撑是X且函数g：X→Y，则Y的支撑为Y.例如，如果X的支撑是[0, 1]且g（x）=1+2x，则Y=g（X）的支撑是[1, 3].如果X的支撑是R+且g（x）=log（x），则Y=g（X）的支撑为R.

设Y的概率函数为FY（y）=P[Y≤y]=P[g（X）≤y].令B（y）是集合{x∈R：g（x）≤y}.事件{g（X）≤y}和{X∈B（y）}是等价的.所以Y的分布函数为

FY（y）=P[X∈B（y）]

因此，Y的分布由X的概率函数确定.

当g（x）单调递增时，g（x）有反函数

h（y）=g-1（y）

则X=h（Y）且B（y）=（-∞, h（y）].Y的分布函数为

FY（y）=P[X≤h（y）]=FX（h（y））

它的密度函数是分布函数的导数.根据链式法则，可得

最后一个等号成立是因为h（y）关于y的导数为正.

现考虑g（x）单调递减的情况，设其反函数为h（y），则B（y）=[h（y）,∞），

FY（y）=P[X≥h（y）]=1-FX（h（y））

它的密度函数是分布函数的导数，

最后一个等号成立是因为h（y）关于y的导数为负.

当g（x）严格单调时，Y的密度为

fY（y）=fX（g-1（y））J（y）

其中

称为变换的雅可比行列式（Jacobian）.这个概念与微积分中类似.

由此得到下述定理.

定理2.4 若X～fX（x），f（x）是X上的连续函数.设g（x）严格单调，g-1（y）在Y上连续可微，则对所有的y∈Y，都有

fY（y）=fX（g-1（y））J（y）

其中.

定理2.4给出了一个变换Y的密度函数的简洁公式.下述四个例子具体说明定理2.4.

例13 fX（x）=exp（-x）, x≥0.设Y=λX，λ＞0，即g（x）=λx.Y的支撑为Y=[0,∞）.设函数g（x）是单调递增的，其反函数为h（y）=y/λ.雅可比行列式是反函数的导数，

Y的密度函数为

其中y≥0.由于

其中第二个等号通过变量变换x=y/λ得到，故密度是合理的.

例14 fX（x）=1，0≤x≤1.设Y=g（X），其中g（x）=-log（x）.由于X的支撑为[0, 1]，Y的支撑为Y=（0,∞）.函数g（x）单调递减，其反函数为

h（y）=g-1（y）=exp（-y）

对h（y）求导得到雅可比行列式：

注意，fX（g-1（y））=1，y≥0.计算Y的密度，

fY（y）=fX（g-1（y））J（y）=exp（-y）

其中y≥0.这是指数分布的密度函数.也就是说，如果X服从均匀分布，则Y=-log（X）服从指数分布.

例15 X有任意连续可逆（严格递增）的累积分布函数FX（x）.定义随机变量Y=FX（x）.Y的支撑为Y=[0, 1]：则在[0，1]上Y的累积分布函数为

求导得概率密度函数：

这是服从U[0, 1]随机变量的密度函数.故Y～U[0, 1].

变换Y=FX（x）被称为概率积分变换（probability integral transformation）.无论初始X的分布是什么，该公式都能将Y变换为均匀分布，这个事实是相当奇妙的.

例16 令fX（x）表示图2-7中时薪的密度函数.令Y=log（X）.如果X的支撑为R+，则Y的支撑为R，其反函数为h（y）=exp（y），雅可比行列式为exp（y）.Y的密度为fY（y）=fX（exp（y））exp（y）.如图2-8所示，该密度函数比时薪的密度更对称，偏度更小.