2.8 连续随机变量

如果随机变量X的取值是连续的，则该随机变量不服从离散分布.正式地，如果随机变量的分布函数是连续的，则称该随机变量是连续的.

定义2.8 若X～F（x）且F（x）是连续的，则X是连续（continuous）随机变量.

例5 均匀分布：

函数F（x）是全局连续的，当x→-∞时，极限为0；当x→∞时，极限为1.因此，F（x）满足累积分布函数的性质.

例6 指数分布：

函数F（x）是全局连续的，当x→-∞时，极限为0；当x→∞时，极限为1.因此，F（x）满足累积分布函数的性质.

例7 时薪.作为一个实际例子，图2-5展示了2009年美国时薪的分布函数.图形在[0, 60]美元范围内绘制.该函数是连续且处处递增的.这是因为时薪是连续变化的.箭头表示时薪以10美元为间隔，从10美元到50美元对应分布函数的值.具体来说，时薪10美元处分布函数的值为0.14.故14%的人的时薪小于或等于10美元.时薪20美元处分布函数的值为0.54.故54%的人的时薪小于或等于20美元.类似地，时薪为30美元、40美元和50美元的分布函数函数的值分别为0.78、0.89和0.94.

可用差值描述分布函数.以区间（a, b]为例.随机变量X∈（a, b]的概率为P[a＜X≤b]=F（b）-F（a），表示分布函数的差值.因此，分布函数的两点之差就是X位于对应区间内的概率.例如，随机抽取一人，其工资在10到20美元之间的概率是0.54-0.14=0.40.类似地，工资落在区间[40, 50]美元的概率为94%-89%=5%.

连续随机变量等于特定值的概率为0.考虑任意的数x.通过对序列的概率取极限计算X等于x的概率，即考虑当ϵ递减向0时，X落在区间[x, x+ϵ]的概率.此时，

其中F（x）是连续的.这看起来是个悖论.虽然X等于任一具体值x的概率是0，但是X等于一些值的概率是1.这个悖论是由于实数轴的魔力和无穷不可数的丰富性产生的.

对连续随机变量，有

P[X＜x]=P[X≤x]=F（x）

P[X≥x]=P[X＞x]=1-F（x）