2.5 期望

随机变量X的期望（expectation）E[X]是度量分布集中趋势的常用指标.期望是一种以概率为权重的加权平均.期望也被称为分布的期望值（expected value）、平均值（average）或均值（mean）.本书更倾向于使用“期望”或“期望值”，因为它们是最清楚的.通常将期望写为E[X]，E（X）或EX.有时使用记号E[X]或E[X].

定义2.5 对支撑为{τj}的离散随机变量X，其期望为

若该序列是收敛的（收敛的定义见附录A.1节）.

重要的是理解虽然X是随机的，但E[X]是非随机的.期望是分布的固定特征.

例1 令X=1的概率为p，X=0的概率为1-p，则其期望为

E[X]=0×（1-p）+1×p=p

例2 掷公平骰子，其期望为

例3 令，k为非负整数.这个概率分布的期望为

例4 受教育年限.图2-2b中概率分布的期望为

E[X]=8×0.027+9×0.011+10×0.011+11×0.026+12×0.274+13×0.182+14×0.111+16×0.229+18×0.092+20×0.037=13.9

因此，受教育年限的均值大约是14.

期望是分布的重心（center of mass）.把图2-2中的概率质量函数想象成一组重量，将其放在一个支点支撑的木板上.为了使木板平衡，支点需要放在期望E[X]处.再以重心的视角观察图2-2会很受启发，泊松分布的重心在1处，受教育年限的重心是14.

同样，可定义期望的变换.

定义2.6 对支撑为τj的离散随机变量X，g（X）的期望为

如果该序列是收敛的.

应用变换时，可以通过简化记号减少混乱.例如，记为E|X|而不是E[|X|]，记为E|X|r而不是E[|X|r].

期望具有线性性质.

定理2.1 期望的线性性质（linearity of expectation）.对任意的常数a和b，都有

E[a+bX]=a+E[X]

证明 由期望的定义得

由于且.

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