2.3　投资主体：量化风险感受

一般的，投资主体感受到的风险与潜在损失大小和损失发生的可能性有关。为了支持投资主体的决策过程，最初人们尝试利用损失分布的统计特征来刻画风险。

2.3.1　波动类风险测度

（一）离差类风险测度

显然，一般投资者都有这样的风险感受：某一资产的收益越不稳定，或者其收益波动程度越大，那么这个资产的风险越大。方差是反映资产波动程度的一个普遍采用的指标，它反映了资产价值偏离均值水平的程度。自从Markowitz（1952），Markowitz（1959）和Tobin（1958）的开创性工作以来，方差和标准差作为2种离差类风险测度，在金融学和经济学的理论和实践领域中得到了广泛的应用。随机变量X的方差和标准差分别定义为

和

其中，为随机变量X的均值。

但是方差是两边风险测度，不但考虑了收益偏离均值以下的波动，而且也考虑了收益偏离均值以上的波动，即认为收益对均值的正向偏离也是风险。显然方差作为风险测度，同人们对风险的认识是不一致的。Markowitz（1959）提出采用半方差

或半标准差

等下边风险测度来度量资产的下边风险。Quirk and Sapasnik（1962）从理论上证明了半方差比方差更具有优越性。

Rockafellar et al.（2006）一般化了离差类风险测度，提出了离差风险测度的公理体系。

定义2.1　风险测度D称为离差风险测度，如果它满足：

（D1）对任意的C∈R, X∈G, D（X＋C）=D（X）。

（D2）对任意的X, Y∈G, D（X＋Y）≤D（X）＋D（Y）。

（D3）对任意的λ≥0, X∈G, D（λ X）=λ D（X）。

（D4）若X∈G不是常数，则D（X）＞0；若X为常数，则D（X）=0。

由上述定义，标准差和半标准差显然都是离差风险测度的特例。

（二）基于目标的波动类风险测度

上述离差类风险测度度量的是资产未来价值同其均值偏离的波动程度，而实际中投资主体可能更关注资产偏离某一偏好目标的不利结果。Markowitz（1959）提出采用目标半方差作为风险测度，其定义为

其中τ表示投资者的目标收益率。Bawa（1975），Bawa and Lindenberg（1977）和Fishburn（1977）等学者提出了更一般的测度风险的方式，称为下偏矩风险测度，从而使目标半方差成为下偏矩风险测度的特例，其定义为

相应的标准化形式为

当a=0时，LPM0（X, τ）=P（X≤τ）=F（τ），因此零阶下偏距又称为损失概率。当a=1时，LPM1（X, τ）=E[max（τ-X，0）]。一阶下偏矩又称作期望后悔（Expected Regret），Testuri and Uryasev（2000）详细研究了期望后悔风险测度。而当τ=E（X）, a=2时，我们则可以得到半方差风险测度。

（三）下偏矩和离差风险测度之间的关系

下偏矩和离差风险测度在一定条件下存在着联系，我们可以证明以下命题。

命题2.1　设a＞0，则以均值为目标的标准化下偏矩风险测度

为离差风险测度。

证明：只需证明ρ（X）满足定义2.1中的离差风险测度公理假设D1-D4。

（i）对任意的C∈R, X∈G，显然我们有

（ii）对任意的X, Y∈，由Minkowski不等式，我们有

（iii）对任意的λ≥0, X∈G，我们有

（iv）若X不是常数，显然有ρ（X）＞0；

若X是常数，由X=EX，可得ρ（X）=0.

2.3.2　基于效用函数的风险测度

von Neumann and Morgenstern（1944）通过6个选择偏好公理，建立了期望效用函数理论，从而为投资主体在不确定性环境下如何选择决策提供了依据。期望效用函数反映了投资主体的风险偏好，因此一个很自然的问题是，能否可以通过效用函数来推出人们对风险的感受，从而对风险感受进行量化。Jia and Dyer（1996）通过定义了一个标准风险集合P0，证明了若P0上的风险感受排序同投资主体的选择偏好排序一致，则必然存在一个风险测度ρ（X）=-E[u（X-μ）]，同P0上的风险感受排序相一致。在这里u为von Neumann-Morgenstern效用函数，μ=E（X）。

通过定义不同的期望效用函数u，我们可以得到各种风险测度，例如当效用函数为u（x）=ax-bx2，可以得到相应的风险测度为ρ（X）=var（X）=E（X-μ）2。

2.3.3　感知风险测度

风险测度赋予风险空间中的风险一个标量数值，这一数值能够反映人们对风险的相对感受，不同风险的风险测度相对大小应该同投资主体对不同风险的风险感受相一致：即对于任意2个风险X, Y，若投资主体对X的风险感受大于对Y的风险感受，即投资主体认为X比Y更具有风险，则X的风险测度应当大于Y的风险测度。

基于随机变量统计特征的风险测度，虽然具有直观的含义，但是它们并没有直接对风险进行测度，有可能并不能和人们的风险感受排序一致。而期望效用函数只是反映了个体的风险偏好（risk preference），因此是间接地而不是直接地反映个体的风险感受（risk perception）。Brachinger and Weber（1997）指出，风险偏好排序和风险感受排序是不同的概念，例如风险主体认为X比Y更有风险，但他有可能更偏好Y。同时，著名的Allais悖论和Ellsberg悖论的提出表明期望效用方法并不能很好地刻画风险主体的风险偏好。因此，人们尝试从心理学的角度直接量化风险主体的风险感受，提出了感知风险测度，即决定风险度量的是人们对风险的感知。

Coombs and Huang（1970）最早从风险本身，而不是通过风险偏好对风险感知进行度量。在他们工作的基础上，Pollatsek and Tversky（1970）建立了感知风险测度需要满足的7个公理性假设，并推导出了感知风险测度的表示定理：

ρ（X）=θvar（X）-（1-θ）E（X）

其中0＜θ≤1是唯一确定的。

然而，Coombs and Bowen（1971）指出尽管均值和方差在一定程度上会影响个体的感知风险，但是他们单独还无法充分地量化感知风险。Luce（1980, 1981）和Satin（1987）从另外一个角度推导感知风险测度的表示形式。通过假设感知风险测度的函数结构，他们提出了可以通过实证检验的函数形式来测度风险感受。期望效用函数理论被认为是研究人们在不确定条件下进行决策的理论基础，因此国内学者姜青舫和陈方正（2000）采用和期望效用理论类似的方法建立了风险测度的公理体系。最后，Brachinger and Weber（1997）、Jia et al.（1999）对感知风险测度做了较详细的综述。

2.3.4　风险测度类

Stone（1973）定义了一般的3参数风险测度类

并指出方差、半方差和下偏矩等风险测度都可以用这种3参数模型来表示。Pedersen and Satchell（1998）提出了更一般的五参数风险测度类

并指出已有文献中大量的风险测度都可以用上述5参数风险测度类表示，其中包括Stone（1973）提出的3参数风险测度类和部分感知风险测度。