1.2 力的概念和数学描述

力无疑是力学学科中最基本的概念。搞清楚力的概念和力的数学描述对力学的学习和研究至关重要。

力的概念

力（force）的概念是从劳动中产生的。人们在生活和生产中，由于肌肉紧张收缩的感觉，逐渐产生了对力的感性认识。随着生产的发展，又逐渐认识到物体机械运动状态的改变（包括变形），都是由于其他物体对该物体施加力的结果。这样，逐步由感性到理性，建立了抽象的力的概念。

力是物体间的机械相互作用，其作用效果使物体的机械运动状态发生改变。物体之间的机械作用大致可分为两类：一类是接触作用，如机车牵引车厢的拉力、物体之间的挤压力等；另一类是“场”对物体的作用，如地球引力场对物体的引力（重力）、电场对电荷的引力或斥力等。尽管各种物体间相互作用力的来源和性质不同，但力学只研究各种力对物体产生的效应，并不关心力的物理本质。力对物体的作用产生两个方面的效应：物体运动状态的改变和物体形状的改变。通常，把前者称为力的运动效应（effect of motion），后者称为力的变形效应（effect of deformation）。

实践表明，力对物体的作用效果应取决于：①力的大小；②力的方向；③力的作用点。以上三点称为力的三要素。

力的几何描述

可用一个带有箭头的线段来描述力所具有的三个要素，如图1-1所示。线段的长度按一定的比例尺表示力的大小，起始端代表力的作用点，箭头指向代表力的方向，线段所在的直线表示力的作用线。在数学上，这种带有箭头的线段用矢量描述：矢量的大小（模）表示力的大小，矢量的方向表示力的方向，矢量的始端表示力的作用点（有时也用末端表示力的作用点）。通常将表示力的矢量称为力矢（force vector），用黑斜体字母F或加矢量符号的字母Fˉ表示，普通字母F则表示力的大小。若以e表示沿力矢F方向的单位矢量，则力矢F可写成

即力矢可以用它的模和单位矢量的乘积表示。数学中矢量的运算同样适合于力矢的运算。但注意，由于力的作用点是指定的，所以力矢是定点矢量。

在国际单位制（SI）中，以“N”作为力的单位符号，称为牛或牛顿。有时也以“kN”作为力的单位符号，称为千牛或千牛顿。

力的解析描述

矢量可以在选定的坐标系中用其在坐标轴上的投影解析表示，同样可以用这种方法表示力矢。如图1-2所示，在直角坐标系中，力矢的投影表示式为

式中，i,j,k分别为沿x,y,z轴的单位矢量，F x,Fy,Fz分别为力矢在坐标轴x,y,z上的投影。

若已知力F与正交坐标系Oxyz三坐标轴间的夹角分别为α, β, γ，如图1-3(a)所示，则力在三个坐标轴上的投影等于力的大小F乘以力与各轴夹角的余弦，即

若力F与x, y轴间的夹角不易确定，可把力F先投影到坐标平面Oxy上，得到投影Fxy，然后再把Fxy向x,y轴投影，如图1-3(b)所示。若已知夹角γ和φ，则力F在三个坐标轴上的投影分别为

此方法为二次投影法。

如果已知力F在正交坐标系Oxyz中坐标轴上的三个投影，则力F的大小和方向余弦为

例题1-1

如例题图1-1所示，在正方体的角点A, B处作用力F1,F2，大小均为F。试求此二力在x, y, z轴上的投影。

解：

(1) 对力F1使用二次投影法。设F1与x y面的夹角为α，其余弦值和正弦值分别为

其中，a为正方体的边长。F1在x y面上的投影为

于是，由式(1-4)得力F1在x,y,z上的投影分别为

(2) 对力F2使用直接投影法。由式(1-3)得F2在x,y,z上的投影分别为

例题1-2

已知力在直角坐标系中的解析式为F=3i+4j-5k k N，试求这个力的大小和方向，并作图表示。

解：

根据题意，Fx=3,Fy=4,Fz=-5，所以由式(1-5)和式(1-6)得

于是，角度为

(F,i)=α=64.9°，(F,j)=β=55.55°，(F,k)=γ=180°-45°=135°

如例题图1-2所示。

实际物体的受力往往是由多个力组成的复杂系统，称为力系（system of forces）。根据各力的作用线和作用点所在空间的分布特点，通常将力系分为平面力系和空间力系，其中又分为汇交力系、力偶系、平行力系和一般任意力系。但不论多么复杂的力系，其分析计算都以上述关于力的数学表述为基础。